ادامه حل تمرین صفحه 90 ریاضی دوازدهم سوال4تا7

حل تمرین 4 صفحه 91 ریاضی دوازدهم مشتق یک تابع، شیب خط مماس بر نمودار آن تابع است. ### الف) $f'(a) = 0$ (در یک نقطه برابر صفر شود) تابع باید در یک نقطه دارای **مماس افقی** باشد، یعنی دارای **نقطه بیشینه یا کمینه** باشد. $$\mathbf{\text{تابع پیشنهادی: } f(x) = x^2}$$ \text{(مشتق } f'(0) = 0 \text{ است.)}$$ --- ### ب) $f'(2) = 3$ (در $x = 2$ برابر $3$ شود) تابع باید در نقطه $x=2$ شیب مماس برابر $3$ داشته باشد. $$\mathbf{\text{تابع پیشنهادی: } f(x) = 3x}$$ \text{(مشتق } f'(x) = 3 \text{ است، پس در هر نقطه } f'(2) = 3 \text{ است.)}$$ $$\mathbf{\text{یا } f(x) = x^2 + 3x - 4}$$ \text{(مشتق } f'(x) = 2x + 3 \text{ است. } f'(2) = 2(2) + 3 = 7 \text{ (باید اصلاح شود). } f'(x) = 3 \text{ در } x=0 \text{ است.)}$$ **اصلاح:** تابعی که $f'(2)=3$ باشد، باید $f'(x) = m(x-2) + 3$ باشد. $$\mathbf{\text{تابع پیشنهادی: } f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 3x + 9}$$ \text{(مشتق } f'(x) = 3x - 3 \text{ است. } f'(2) = 3(2) - 3 = 3 \text{)}$$ --- ### پ) $f'(x) > 0$ (در تمام نقاط مثبت باشد) تابع باید در تمام دامنه‌اش **اکیداً صعودی** باشد. $$\mathbf{\text{تابع پیشنهادی: } f(x) = x^3}$$ \text{(مشتق } f'(x) = 3x^2 \text{ است، که به جز } x=0 \text{ همواره مثبت است.)}$$ \text{(یا } f(x) = e^x \text{)}$$ --- ### ت) $f'(x) = k$ (در تمام نقاط یکسان باشد) تابع باید یک **خط راست** باشد. $$\mathbf{\text{تابع پیشنهادی: } f(x) = 5x - 2}$$ \text{(مشتق } f'(x) = 5 \text{ است.)}$$ --- ### ث) $f'(x) < 0$ (در تمام نقاط منفی باشد) تابع باید در تمام دامنه‌اش **اکیداً نزولی** باشد. $$\mathbf{\text{تابع پیشنهادی: } f(x) = -x}$$ \text{(مشتق } f'(x) = -1 \text{ است.)}$$

حل تمرین 5 صفحه 91 ریاضی دوازدهم تابع داده شده: $f(x) = x^2 + 2x + 3$. رأس سهمی در $x = -\frac{2}{2(1)} = -1$ قرار دارد. ### الف) ترتیب صعودی مقادیر مشتق (از روی نمودار) مشتق تابع در هر نقطه، شیب خط مماس است. * **$f'(-2)$:** در سمت چپ رأس (نزولی). شیب **منفی**. * **$f'(-1)$:** در رأس (کمینه محلی). شیب **صفر**. * **$f'(0)$:** در سمت راست رأس (صعودی). شیب **مثبت و کوچک**. * **$f'(2)$:** در سمت راست رأس (صعودی). شیب **مثبت و بزرگ**. $$\mathbf{\text{ترتیب صعودی (از کوچک به بزرگ): } f'(-2) < f'(-1) < f'(0) < f'(2)}$$ --- ### ب) بررسی صحت ادعا با محاسبه تابع مشتق 1. **تابع مشتق:** $f'(x) = 2x + 2$. 2. **محاسبه مقادیر:** * $f'(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = \mathbf{-2}$ * $f'(-1) = 2(-1) + 2 = -2 + 2 = \mathbf{0}$ * $f'(0) = 2(0) + 2 = \mathbf{2}$ * $f'(2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = \mathbf{6}$ 3. **ترتیب نهایی:** $-2 < 0 < 2 < 6$. $$\mathbf{\text{نتیجه: } f'(-2) < f'(-1) < f'(0) < f'(2)}$$ \text{صحت ادعا بررسی و تأیید شد.}$$ --- ### پ) رسم تابع مشتق تابع مشتق $f'(x) = 2x + 2$ یک **خط راست** با شیب $m=2$ و عرض از مبدأ $2$ است. * ریشه (محل برخورد با محور $x$): $2x + 2 = 0 \implies x = -1$.

حل تمرین 6 صفحه 91 ریاضی دوازدهم برای بررسی مشتق‌پذیری در نقطه مرزی $x=1$، ابتدا پیوستگی و سپس مشتق چپ و راست را بررسی می‌کنیم. ### 1. بررسی پیوستگی 1. **حد راست:** $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^3 + 3) = 1^3 + 3 = 4$ 2. **حد چپ:** $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x) = 2(1) = 2$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } \lim_{x \to 1^+} f(x) \ne \lim_{x \to 1^-} f(x) \text{ (یعنی } 4 \ne 2 \text{)، تابع در } x=1 \text{ ناپیوسته است.}$$ ### 2. نتیجه‌گیری **چون تابع در $x=1$ ناپیوسته است، مشتق‌پذیر نیست و $f'(1)$ موجود نیست.** (نیازی به محاسبه مشتق چپ و راست نیست.)

حل تمرین 7 صفحه 91 ریاضی دوازدهم مشتق یک تابع نشان‌دهنده شیب آن است. اگر دو تابع فقط در یک **مقدار ثابت** با هم اختلاف داشته باشند، شیب‌های یکسانی دارند و مشتق‌هایشان برابر است. ($\frac{d}{dx}(f(x) + C) = f'(x)$). $$\mathbf{\text{مثال پیشنهادی (با مشتق } f'(x) = 2x \text{):}}$$ 1. $$\mathbf{f(x) = x^2 + 1}$$ 2. $$\mathbf{g(x) = x^2 - 5}$$ 3. $$\mathbf{h(x) = x^2}$$ $$\mathbf{\text{مشتق هر سه تابع: } f'(x) = g'(x) = h'(x) = 2x}$$